پایان نامه : تشخیص‌پذیری و k- تشخیص‌پذیری بعضی از گروه های متناهی با بهره گرفتن از دو روش، مجمو...

قضیه 1-2-2 فرض کنید G یک گروه متناهی و N یک زیرگروه نرمال G باشد، آن‌گاه  و  مقسوم‌علیهی از است و همچنین داریم.

برهان. به [33] رجوع شود.

تعریف: فرض کنید n یک عدد صحیح باشد. در این صورت ، مجموعه تمام اعداد اولی است که n را می‌شمارد.

اگر G یک گروه متناهی باشد،  را همان  تعریف می‌کنیم.

قضیه 1-2-3 فرض کنید G یک گروه متناهی،  فرد باشد همچنین فرض کنید P  یک سیلو  زیرگروه G و  جائیکه . اگر P دوری نباشد،  آن گاه تعداد عناصر از مرتبه n گروه G مضربی از  است.

برهان. به [24] رجوع شود.

قضیه 1-2-4 فرض کنید G یک گروه متناهی . همچنین فرض کنید G دارای سری نرمال  باشد. اگر  و p مرتبه K را عاد نکند آن‌گاه نتایج زیر برقرار است:

1. i)
2. ii) یعنی ؛

iii)  به عبارت دیگر داریم  جائیکه t یک عدد صحیح مثبت است و.

برهان. به [27] رجوع شود.

تعریف: فرض کنید G یک گروه متناهی باشد و  که در آن m و n دو عدد طبیعی متباین‌اند. هر زیرگروه G از مرتبه m را یک زیرگروه هال می‌نامند. به عبارت دیگر، زیرگروه H از G را یک زیر گروه هال گویند در صورتی که  و  نسبت به هم اول باشد.

همچنین اگر کهها اعداد صحیح نامنفی و لااقل یکی مخالف صفر است و  در اینصورت H را یک  هال زیر گروه G می‌نامند.

قضیه 1-2-5 فرض کنید G یک گروه متناهی حلپذیر و، جائیکه و . همچنین فرض کنید  و  تعداد هال زیرگروه های G باشد، آن‌گاه  است که به ازای هر   در شرایط

 زیر صدق می‌کند:

1. i) برای یک ؛
2. ii) مرتبه یکی از فاکتورهای اصلی از سری اصلی گروه G را عاد می‌کند.

برهان. به [12] رجوع شود.

تعریف: گروه G را با  گروه می‌نامیم هر گاه . اگر G یک گروه ساده و  آن گاه G را یک  گروه ساده می‌نامیم.

قضیه 1-2-6  فرض کنید G یک گروه ساده غیر آبلی باشد در این صورت .

این مطلب را هم بخوانید :

آزمون های آماری

برهان. بنا به قضیه برنساید هر  گروه و هر گروه از مرتبه  حلپذیرند، چون G غیرحلپذیر است پس .

۱- ۳  آشنایی با رده بندی گروه های ساده متناهی

گروه های ساده را به چهار نوع گروه رده بندی کرده اند که در ذیل به بیان این رده بندی می پردازیم:

قضیه 1-۳- ۱ (قضیة رده بندی گروه های سادة متناهی)

گروه های ساده آبلی که دقیقا عبارتند از که در آن یک عدد اول است،

گروه های متناوب  برای ،

خانواده ای متنوع از گروه ها از نوع لی[1] ،